お茶の時間・整数の問題・考察編
前回の問題は、
xを整数とするとき
は、30の倍数になることを証明せよ
であった。
今日は、その続きで、考察編である。
解答は一つではなく、様々な方法がある。
解答その１
まずは、およやんさんの方法。
解答その２
因数分解から始まるのは同じだが、式の変形がちょっと違う。
30＝2 x 3 x 5
であるから、
が、2と3と5の倍数であることが証明できれば、30の倍数であることも証明できる。
さて、元の式を順次変形してみると、次のようになる。
ここで、第1項
は、連続する5つの整数の積なので、2、3、5の倍数であり、30の倍数である。
一方、第2項
は、5と連続する3つの整数の積なので、2、3、5の倍数であり、30の倍数である。
したがって、第1項と第2項の和である
も30の倍数である。(QED)
解答その３
これは整数の問題なので、数学的帰納法でも証明できそうである。
試してみると一応証明にはなるが、途中の式の変形がやたらと面倒で、上記2つの方法に比べて、全然メリットを感じなかった。
お茶とお菓子で、ちょっと、ひとやすみ～♪
